ｐが素数で，ｐ^m個の元をもつ有限体は，コンピュータや通信，暗号化などに対してとくに重要である．

　ｐ＝3、ｍ＝3→ＧＦ（3^3）は２７個の要素

　　０００，１００，２００、０１０，０２０，１１０，００１，・・・，２２２

をもつ（０〜２６までの３進数列で，左が最下位ビットとなるように書かれている）．

　加算と減算はビット毎に３を法として定義される（繰り上げがないので２進の加算とは一致しない）．

　　１１０＋１１１＝２２１

　乗算は，

［１］各ベクトルはｍ−１次までの３^3個の多項式と対応する．

　　１１０→ｘ^0＋ｘ^1＋０＝１＋ｘ

　　０１０→０＋ｘ^1＋０＝ｘ

［２］与えられた次数ｍのＧＦ（３）上の既約多項式，たとえば，ｐ＝３，ｍ＝３の場合は

　　π（ｘ）＝１＋２ｘ＋ｘ^3

を法とする多項式の乗算の余りとして定義される．

［３］π（ｘ）＝１＋２ｘ＋ｘ^3の場合は，ｘ^3を２＋ｘで置き換えることと同値である．

ｘ^3＝-１-２ｘ＝２＋ｘ　　(mod3)

１１０・１０１＝（１＋ｘ）（１＋ｘ^2）

＝１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3

＝１＋ｘ＋ｘ^2＋（２＋ｘ），係数は3を法として１＋2＝０より

＝２ｘ＋ｘ^2＝０２１

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（ｘ＋１）・（ｘ^2＋2ｘ＋１）＝ｘ^3＋3ｘ^2＋3ｘ＋１＝ｘ^3＋１

（ｘ＋１）・（ｘ^2＋2ｘ＋2）＝ｘ^3＋3ｘ^2＋4ｘ＋2＝ｘ^3＋ｘ+2

（ｘ＋2）・（ｘ^2＋ｘ＋１）＝ｘ^3＋3ｘ^2＋3ｘ＋2＝ｘ^3＋2

（ｘ＋2）・（ｘ^2＋ｘ＋2）＝ｘ^3＋3ｘ^2＋4ｘ＋4＝ｘ^3＋ｘ+1

ｘ^3＝2ｘ

ｘ^4＝ｘ（2+ｘ）＝２ｘ＋ｘ^2

ｘ^5＝ｘ（2ｘ+ｘ^2）＝2ｘ＾2+ｘ^3=2+ｘ+2ｘ^2

ｘ^6＝ｘ（2＋ｘ+2ｘ^2）＝2ｘ＋ｘ^2+2ｘ＾3＝1+ｘ＋ｘ^2

ｘ^7＝ｘ（１+x+ｘ^2)=2+2ｘ＋ｘ^2

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｘ^13=2

ｘ^14＝2ｘ

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Ｆ3上の射影平面Ｆ27では

xをかけていくと13個の点は13回で元に戻る。

xをかけていくと13本の直線も13回で元に戻る。

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