ディオファントス方程式のなかにはパラメータ解が知られているものもあります．ａ^2＋ｂ^2=ｃ^2を満たす自然数解は無数にあります．そのパラメータ解は，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．

（ｎ2 −１）2 ＋（２ｎ）2 ＝（ｎ2 ＋１）2

のように文字を一つだけ使ったのでは、ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れません．

フェルマー・ワイルスの定理より

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n

に整数解が存在するのは，ｎ＝１と２の場合だけです．したがって，ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3になるような３つの整数ａ，ｂ，ｃを見つけることはできませんが，不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3を満たす自然数解は無数に存在します．

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

　１^3＋６^3＋８^3＝９^3

など．以下ではそのパラメータ解について調べてみます．

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【１】オイラー

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ）

　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

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