【５】代数曲面上の直線

代数幾何では，代数曲線上の点のほかに，代数曲面上の直線も扱われます．空間内の２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０の分類はよく知られていて，楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類されます．２次曲面には無数に多くの直線がのっているものがあり，その場合には線織面と呼ばれます．たとえば，

　　一葉双曲面：ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2＝１

　　双曲放物面：ｚ＝ｘｙ

には，無数に多くの直線がのっています．２次曲面が直線の族を含んでいるという事実は建築でも実際に応用されますが，カーブを描いた曲面をコンクリートを使って建設できるということは明らかに利点です．

　一葉双曲面と双曲放物面は２重に線織されていますが，これら以外に２重線織面はありません．また，平面以外の３重線織面は存在しません．つまり，１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面ではその数は高々有限個（２７本）です．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいません．

１８４９年，ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと，サルモンはその数は２７であることを証明しました．アルキメデスの墓石に円柱・円錐・球，ガウスの墓石に正１７角形が彫られた如く，ケーリーとサルモンの墓石には２７本の直線を彫るべきだとシルベスターがいったことは１９世紀にこれらの３次曲線がいかに重要視されたかを物語っています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝