【３】パスカルの円錐曲線定理の拡張

　円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にある．

　３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，前述のパスカルの定理は，拡張形定理（２次曲線あるいは３次曲線相互の交点が直線上に並ぶことを主張する定理）において，３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．

　この拡張形定理は楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）の結合法則をも保証するものであって，その意味では楕円曲線論，代数曲線論における基本定理の原型となる重要な定理となっていて，代数幾何学の重要な定理と深く関わっています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

（証）３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線

　　ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

で，一般式の項数は１０になります．

　平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算されます．ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．

　すなわち，交点は勝手な配置が許されるのではなく，拘束条件を満たすように配置されるのですが，この定理の場合，円錐曲線：Ｑ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ1：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ2＝Ｇ（ｘ，ｙ）＝０，Ｒ，Ｓを通る直線：Ｌ（ｘ，ｙ）＝０とすると，

　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝λＦ（ｘ，ｙ）＋μＱ（ｘ，ｙ）Ｌ（ｘ，ｙ）

の形で与えられることから，Ｒ，Ｓ，Ｔが直線上に並ぶことが証明されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝