関数等式

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

ξ(s)=ξ(1-s)

を使えば，

ξ(−２)=ξ(３)＝π^(-3/2)Γ(3/2)ζ(3)＝ζ(3)／２π

を示すことができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　［参］黒川信重「リーマン予想を解こう」技術評論社

では関数の零点探し＝因数分解からのアプローチについて解説がなされています．

　たとえば，

　　Ｚ（ｓ）＝１−２^-s−３^-s＋４^-s−５^-s＋６^-s＋７^-s−８^-s

について，Ｚ（０）＝Ｚ（−１）＝Ｚ（−２）＝０を示したり，その拡張を考えたり，完備リーマンゼータ

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)，ξ(s)=ξ(1-s)

のおもちゃ版

Ｚ(s)=（ｓ−１／２）^2／ｓ（ｓ−１）

に対して，

　　Ｚ（１−ｓ）＝Ｚ（ｓ）

を示したりしながら，

　　ζ（ｓ）＝１＋２^-s＋３^-s＋４^-s＋５^-s＋６^-s＋７^-s＋８^-s＋・・・

に迫っていきます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Ｚ(s)=s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

とおいた場合を考える．この場合，

Ｚ(s)=ｓ（１−ｓ）∫(1,∞)φ(t)｛ｔ^s/2＋ｔ^(1-s)/2｝／ｔｄｔ＋１

となって

Ｚ(s)=Ｚ(1-s)

であることが示されたことになる．

ξ(s)=Ｚ(s)/s(s-1)

と書くことができるが，リーマンはＺ(s)の因数分解表示

　　Ｚ（ｓ）＝ｅｘｐ（Ａｓ＋Ｂ）Π（１−ｓ／ρ）ｅｘｐ（ｓ／ρ）

を与え，オイラー積

　　Π（１−ｐ^-s）^-1＝ｅｘｐ（Ａｓ＋Ｂ）Π（１−ｓ／ρ）ｅｘｐ（ｓ／ρ）／ｓ（ｓ−１）π^(-s/2)Γ(s/2)

を示しました．

　左辺は素数全体にわたる積，右辺は零点全体にわたる積になっています（リーマンの大発見）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝