（その２）〜（その５）のような区分的な解析接続ではなく，もっとうまい手があります．結論を先にいうと，ｓを複素変数とするとき，関数等式

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

を用いればζ(s)をｓ＝１（極）を除くすべての複素数に対して意味をもたせることができ，ｓを−１とすると値が−１／１２，２とすると値が０になるというわけです．Γはガンマ関数です．

　また，

ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

あるいは

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義すると

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形に書くことができます．ガンマ関数はゼータ関数の仲間と思ってほしい所以です．

　関数等式は

(1)ｓを複素変数として複素全平面への解析接続を与えることができること

(2)ζ(s)がRe(s)=1/2を対称軸とする美しい対称性をもっていること

を示しています．

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【１】ガンマ関数からの補足

　関数等式はきわめて簡潔に書かれているので，そういうふうに「解析接続」されているといってしまえばそれまでですが，しかし，このように定義されても私はどうしてもつかえてしまうのです．おおかたの人にとってもまったくわからないあるいはもう一つピンとこないほうが普通なのではないでしょうか．

　私のように物わかりの悪い者は世の中にそうたくさんはいないと思いますが，私の素朴な疑問も何らかの役に立つかもしれないので，冗長ですが以下の話におつきあい下さい．

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt x>0

無限積分Γ(x)をｘの関数とみてガンマ関数といいます．

　　Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1

　　Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt

ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)exp(-u^2/2)du=√π/2（ガウス積分）より

　　Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２積分とも呼ばれるガンマ関数Γ(x)には，Γ(x+1)=xΓ(x)の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって，ｘが正の整数ｎのときにはΓ(n+1)=n!が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．

　また，半整数のときには，Γ(n+1/2)=(2n)!√π/{2^(2n)n!}です．なお，ガンマ関数Γ(x)はx>0について微分可能で，x=1.4616321449･･･で最小となります．

　ガンマ関数の定義をｘ＜０の領域にも拡張することができます．すなわち

-1<x<0のとき，Γ(x)=Γ(x+1)/x

-2<x<-1のとき，Γ(x)=Γ(x+2)/x(x+1)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

-n<x<-n+1のとき，Γ(x)=Γ(x+n)/x(x+1)･･･(x+n-1)

　このようにして0<x<1（あるいは長さ１の任意の区間）でのガンマ関数の値から，すべての実数点におけるガンマ関数の値が計算できます．負の半整数値の例として

　　Γ(-1/2)＝-2√π

　　Γ(-3/2)＝4/3√π

　　Γ(-n+1/2)=(-1)^n{2^(2n)n!}√π/(2n)!

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　複素数の領域への拡張は

　　Γ(s)=∫(0,∞)t^(s-1)exp(-t)dt

で与えられます．

　　t^(s-1)=t^(-1+u)cos(vlogt)+it^(-1+u)sin(vlogt)

より

　　Γ(s)=∫(0,∞)t^(-1+u)cos(vlogt)exp(-t)dt+i∫(0,∞)t^(-1+u)sin(vlogt)exp(-t)dt

　　Γ(s)=f(u,v)+ig(u,v)

とおくと

　　f(u,v)=∫(0,∞)t^(-1+u)cos(vlogt)exp(-t)dt

　　g(u,v)=∫(0,∞)t^(-1+u)sin(vlogt)exp(-t)dt

ｔ＞０なので被積分関数の実部，虚部ともにｔで積分可能な関数となります．そして，Re(s)＞０のときΓ(s)は絶対収束しますが，Re(s)＜０に対しては

　　Γ(s)=Γ(s+1)/s

が成り立つように延長してやることによって複素全平面に解析接続できます．

　また，その極はｓ＝０，−１，−２，−３，・・・のみで零点は存在しません．このことから直ちにわかることは，関数等式

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

の右辺の２つのガンマ関数の商の部分はｓ＝０，−２，−４，−６，・・・に零点をもつということです．ｓ＝−２，−４，−６，・・・はゼータ関数の自明な零点となるのですが，点ｓ＝０だけはζ(1-s)が極となるため零点ではありません．

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【２】関数等式の証明

　ゼータ関数とガンマ関数との間に

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(s)-1)dt

　　ζ(s)=1/(1-2^(1-s))Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(s)+1)dt

が成り立つのですが，まず，これらを導いてみましょう．

　　Γ(s)=∫(0,∞)t^(s-1)e^(-t)dt

にｔ＝ｎｘを代入するならば

　　Γ(s)/n^s=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-nx)dx

が得られる．この式のｎについての総和をとるなら

　　ΣΓ(s)/n^s=Σ∫(0,∞)x^(s-1)e^(-nx)dx

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x){1+e^(-x)+e^(-2x)+･･･}dx

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x)/(1-e^(-x))dx

∵　１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・１／（１−ｘ）

　　　　　　　 =∫(0,∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

これより

　　Γ(s)ζ(s)=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

が得られます．

　また，交代級数

　　φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･=Σ(-1)^(n-1)/n^s

を考えます．負項を正項に変えて，あとでその２倍を引きます．

　　φ(s)=(1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+･･･)-2(1/2^s+1/4^s+･･･)

　　　　 =(1-2^(1-s))ζ(s)

となります．

　　ΣΓ(s)(-1)^(n-1)/n^s

=Σ∫(0,∞)x^(s-1)(-1)^(n-1)e^(-nx)dx

=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x){1-e^(-x)+e^(-2x)-･･･}dx

=∫(0,∞)x^(s-1)e^(-x)/(1+e^(-x))dx

∵　１−ｘ＋ｘ2 −ｘ3 ＋・・・＝１／（１＋ｘ）

=∫(0,∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

これより

　　Γ(s)ζ(s)(1-2^(1-s))=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

が得られます．

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　次に，ガンマ関数の積についての有名な公式

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ・・・相反公式（相補公式）

　　Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)＝π／ｃｏｓπｘ

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)・・・乗法公式（倍数公式）

の相反公式（相補公式）

　　Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ

を用いると

　　ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)

となりますが，さらに乗法公式（倍数公式）

　　Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)

を用いれば

　　sin(πs/2)=π/Γ(s/2)Γ(1-s/2)=√πΓ((1-s)/2)/2^sΓ(1-s)Γ(s/2)

より

　　π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^((1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)

と整理されます．

　これは

　　ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

の形にも書けるのですが，前者の方がより対称性の高い形でしょう．

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