オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

　　ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ^2）＋１／（３ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・

より

　　ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・

　これを用いると

　　γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・

あるいは

　　γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・

などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．

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　ゼータ関数とガンマ関数との間に

　ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(e^x-1)dt

　ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(e^x+1)dt

が成り立ちます．まず最初に，これらを導いてみましょう．

Γ(ｓ)=∫(0,∞)t^(ｓ-1)e^-tdt

にｔ＝ｎｘを代入するならば

Γ(ｓ)／ｎ^s=∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-nx)dx

が得られる．この式のｎについての総和をとるなら

ΣΓ(ｓ)／ｎ^s=Σ∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-nx)dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-x){1+e^(-x)+e^(-2x)+･･･}dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-x)/(1-e^(-x))dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)/(e^x-1)dx

　これより

　　Γ(ｓ)ζ(ｓ)=∫(0-∞)x^(s-1)/(e^x-1)dx

が得られる．

　また，交代級数

φ（ｓ）＝１−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・＝Σ（−１）^n-1／ｎ^s

を考えます．負項を正項に変えて，あとでその２倍を引きます．

φ（ｓ）

=（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）−２（１／２^s＋１／４^s＋・・・）

＝（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）−２^1-s（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）

=（１−２^1-s）ζ(ｓ)

となります．

ΣΓ(ｓ)（−１）^n-1／ｎ^s=Σ∫(0,∞)x^(ｓ-1)（−１）^n-1e^(-nx)dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-x){1-e^(-x)+e^(-2x)-･･･}dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)e^(-x)/(1+e^(-x))dx

=∫(0,∞)x^(ｓ-1)/(e^x+1)dx

　これより

　　Γ(ｓ)ζ(ｓ)(1-2^(1-x))=∫(0,∞)x^(s-1)/(e^x+1)dx

が得られる．

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