三角形に関する演習問題を提示しておきます．

［Ｑ］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする．外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．また，与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ．

（ヒント）正弦定理

［Ｑ］６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体に外接，内接する球面の半径を求めよ．

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【１】オイラーの定理・オイラーの不等式

［Ｑ］Ｒ≧２ｒ（オイラーの不等式）を証明せよ．等号が成り立つのはどのようなときか．

（ヒント）外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立っています（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　なお，三次元空間では三角形は四面体に，正方形は立方体に，正五角形は正十二面体に，円は球に拡張されると考えられます．三次元空間において四面体の外接球，内接球の半径をそれぞれＲ，ｒとすれば，Ｒ≧３ｒが成り立ちます．

　ｎ次元の幾何学の例をもう一つあげると，三角形の面積は底辺かける高さ割る２ですが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られています．

【補】双心四角形（フースの定理）

　内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が成り立ちます．

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【２】ライプニッツの定理・ライプニッツの不等式

　オイラーの定理は外心Ｏと内心Ｉの距離の関係式でしたが，ここでは外心Ｏと重心Ｇの距離の関係式を扱います．

　　ＯＧ^2＝Ｒ^2−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／９

が成り立つ（ライプニッツの定理）．

　　９Ｒ^2≧ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

が成り立つ（ライプニッツの不等式）．等号は正三角形のとき．

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