三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）　　　（レムスの不等式）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

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【１】レムスの不等式（１８２０年）

　レムスの不等式は，３次対称式

　　ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2−６ａｂｃ≧０

であるが，三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とする三角形が存在するための必要十分条件は，

　　ａ＋ｂ＞ｃ，ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ

であるから，以下のように書き換えることが証明の基本になる．

（証）ａ＋ｂ−ｃ＝２ｘ，ｂ＋ｃ−ａ＝２ｙ，ｃ＋ａ−ｂ＝２ｚとおくと，

　　ａ＝ｚ＋ｘ，ｂ＝ｘ＋ｙ，ｃ＝ｙ＋ｚ

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

は算術・幾何平均の不等式

　　（ｘ＋ｙ）／２・（ｙ＋ｚ）／２・（ｚ＋ｘ）／２≧√ｘｙ√ｙｚ√ｚｘ＝ｘｙｚ

そのものに帰着される．

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