三角形の3辺の長さをa,b,c、半周の長さをs、内接円の半径をr、外接円の半径をRとする

a+b+c=2s

abc=4Rrs

であるが、

ab+bc+ca=?

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ヘロンの公式を用いると、三角形の面積より

s(s-a)(s-b)(s-c)=r^2s^2

s^3-(a+b+c)s^2+(ab+bc+ca)s-abc=r^2s^2

整理すると

ab+bc+ca=s^2+r^2+4Rr

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a,b,cについての対称式は

a+b+c=2s

ab+bc+ca=s^2+r^2+4Rr

abc=4Rrs

としてあらわすことができるのである。

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