Σm^k-1/(exp(2πm)-1)=Bk/2k
において,k=6,10,14,18とおくと
Σm^5/(exp(2πm)-1)=1/504
Σm^9/(exp(2πm)-1)=1/264
Σm^13/(exp(2πm)-1)=1/24
Σm^17/(exp(2πm)-1)=43867/28728
これらはラマヌジャンの愛した等式として知られているが,保型性の見事な結晶になっている.
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Ik=∫(0,∞)x^kdx/(exp(2πx)-1)
=∫(0,∞)x^k(Πexp(-2πnx))dx
=Σ1/(2πn)^k+1∫(0,∞)y^kexp(-y)dy
=ζ(k+1)Γ(k+1)/(2π)^k+1
=Bk+1/2(k+1)
が成り立ちます.
これを離散化するとさらにおもしろくなります.
Sk=Σ(1,∞)n^k/(exp(2πn)-1)
Sk-1=Σ(1,∞)n^k-1/(exp(2πn)-1)
において,kが6以上の偶数で4の倍数ではないとき
Sk-1=Σ(1,∞)n^k-1/(exp(2πn)-1)=B2k/2k
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504
Σn^9/{exp(2πn)-1}=1/264
Σn^13/{exp(2πn)-1}=1/24
Σn^17/{exp(2πn)-1}=43867/28728
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さらに,ラマヌジャンは
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240
Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)
も証明している.
I1=1/24に対してS1=1/24-1/8πである.有名なラマヌジャンの等式であ不思議なことにk=4m+1≧5のときはSk=Ikとなる.
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ここで,πとωはそれぞれ,
π=2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159・・・(円周率)
ω=2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205・・・(レムニスケート周率)
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2(1/4)/2^(5/2)π^(1/2)
ガウスの算術幾何平均
M(a,b)=π/2/∫(0,π/2)dθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)
より
M(√2,1)=π/ω
また,レルヒの公式
Δ(i)=(ω/π√2)^12=Γ^24(1/4)/2^24π^18
E4(i)=3(ω/π)^4=3Γ^8(1/4)/64π^6
もこの兄弟分にあたる.
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