■Δ(z)関数の特殊値(その3)

  Σm^k-1/(exp(2πm)-1)=Bk/2k

において,k=6,10,14,18とおくと

  Σm^5/(exp(2πm)-1)=1/504

  Σm^9/(exp(2πm)-1)=1/264

  Σm^13/(exp(2πm)-1)=1/24

  Σm^17/(exp(2πm)-1)=43867/28728

 これらはラマヌジャンの愛した等式として知られているが,保型性の見事な結晶になっている.

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Ik=∫(0,∞)x^kdx/(exp(2πx)-1)

=∫(0,∞)x^k(Πexp(-2πnx))dx

=Σ1/(2πn)^k+1∫(0,∞)y^kexp(-y)dy

=ζ(k+1)Γ(k+1)/(2π)^k+1

=Bk+1/2(k+1)

が成り立ちます.

 これを離散化するとさらにおもしろくなります.

Sk=Σ(1,∞)n^k/(exp(2πn)-1)

Sk-1=Σ(1,∞)n^k-1/(exp(2πn)-1)

において,kが6以上の偶数で4の倍数ではないとき

Sk-1=Σ(1,∞)n^k-1/(exp(2πn)-1)=B2k/2k

  Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

  Σn^9/{exp(2πn)-1}=1/264

  Σn^13/{exp(2πn)-1}=1/24

  Σn^17/{exp(2πn)-1}=43867/28728

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 さらに,ラマヌジャンは

  Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

  Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

  Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

も証明している.

 I1=1/24に対してS1=1/24-1/8πである.有名なラマヌジャンの等式であ不思議なことにk=4m+1≧5のときはSk=Ikとなる.

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 ここで,πとωはそれぞれ,

  π=2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159・・・(円周率)

  ω=2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205・・・(レムニスケート周率)

  ∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2(1/4)/2^(5/2)π^(1/2)

 ガウスの算術幾何平均

  M(a,b)=π/2/∫(0,π/2)dθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

  M(√2,1)=π/ω

また,レルヒの公式

  Δ(i)=(ω/π√2)^12=Γ^24(1/4)/2^24π^18

  E4(i)=3(ω/π)^4=3Γ^8(1/4)/64π^6

もこの兄弟分にあたる.

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