トリボナッチ数列Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3では
特性方程式t^3-t2-t-1=0を解いて3根
α=1/3・(1+μ1+μ2)
β=1/3・(1+ωμ1+ω^2μ2)
γ=1/3・(1+ω^2μ1+ωμ2)
μ1=(19+3√33)^1/3
μ2=(19-3√33)^1/3を求めました。
Tn+3-(α+β+γ)Tn+2+(αβ+βγ+γα)Tn+1-αβγTn=0
Tn+3-αTn+2=β(Tn+2-αTn+1)+γ(Tn+2-αTn+1)-βγ(Tn+1-αTn)
Un=Tn+1-αTnとおくと
Un+2-βUn+1=γ(Un+1-βUn)
となって、フィボナッチ数列と同じ形になります。
α+β+γ=1
αβ+βγ+γα=-1
αβγ=1
本例の場合は
α+β+γ=x
αβ+βγ+γα=x
αβγ=1
を解く必要がが出てきますが、いずれにせよ、一般項は簡単な形には表せません。
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フィボナッチ数列では無理数が、トリボナッチ数列では無理数と複素数が出現するのであるが
1種の驚きではないだろうか
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