■レムニスケートの幾何学(その108)

 オイラーは

  dx/(1-x^4)^1/2=dy/(1-y^4)^1/2

を一般化して,

  dx/(A+2Bx+2Dx^3+Ex^4)^1/2=dy/(A+2By+2Dy^3+Ey^4)^1/2

  0=α+2β(x+y)+γ(x^2+y^2)+2δxy+2εxy(x+y)+ζx^2y^2=0

の関係は,β,εが定まることによって

  γ=(Aε^2-Eβ^2)/(Bε^2-Dβ^2),

  α=(β^2-A)/γ,ζ=(β^2-E)/γ,

  δ=γ+(B+αε)/β

により定まることを発見しました.

 たとえば,

  dx/(1+x^3)^1/2=dy/(1+y^3)^1/2

の場合は,A=1,B=0,C=0,D=1/2,E=0とおくと,

  4c+4c^2(x+y)-x^2-y^2+2xy+2cxy(x+y)-c^2x^2y^2=0

  y={2c^2+x+cx^2±2(c(1+c^3)(1+x^3))^1/2}/{1-2cx+c^2x^2}

を見つけています.

 さらに,一般化して

  mdx/(A+2Bx+2Dx^3+Ex^4)^1/2=ndy/(A+2By+2Dy^3+Ey^4)^1/2

に進んでいきました.

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