■分割数の漸近挙動(その80)

【1】保型形式

 モジュラー関数は

  z→(az+b)/(cz+d)

に関して,k((az+b)/(cz+d))=k(z)を満たす関数である.

 この関数は変換z→z+1に対して不変,z→-1/zに対して簡単な性質が与えられるから,モジュラー群

  z→(az+b)/(cz+d)

を生成する.

 たとえば,Δ(z)は,重さ12の保型形式

  Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて,オイラーの五角数公式の拡張(24乗版)と考えられます.

 アイゼンシュタイン級数は変換公式

  Ek(az+b/cz+d)=(cz+d)^kEk(z)

    c,dは互いに素,ad-bc=1

を満たします.保型性の定義から

  Ek(z+1)=Ek(z)

  Ek(-1/z)=z^kEk(z)

はすぐわかりますが,前者は周期性,後者は双対性と理解することができます.

  Ek(z+1)=Ek(z)    (周期性)

  Ek(-1/z)=z^kEk(z)  (双対性)

 この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むというわけです.

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