【1】保型形式
モジュラー関数は
z→(az+b)/(cz+d)
に関して,k((az+b)/(cz+d))=k(z)を満たす関数である.
この関数は変換z→z+1に対して不変,z→-1/zに対して簡単な性質が与えられるから,モジュラー群
z→(az+b)/(cz+d)
を生成する.
たとえば,Δ(z)は,重さ12の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて,オイラーの五角数公式の拡張(24乗版)と考えられます.
アイゼンシュタイン級数は変換公式
Ek(az+b/cz+d)=(cz+d)^kEk(z)
c,dは互いに素,ad-bc=1
を満たします.保型性の定義から
Ek(z+1)=Ek(z)
Ek(-1/z)=z^kEk(z)
はすぐわかりますが,前者は周期性,後者は双対性と理解することができます.
Ek(z+1)=Ek(z) (周期性)
Ek(-1/z)=z^kEk(z) (双対性)
この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むというわけです.
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