以前、三角数かつ五角数かつ六角数である最小の数ｎが40755であることを計算したことがある。

つまりn=p(p-1)/2=(3q^2-q)/2=2r^2-rを満たす最小のｎである。

三角数かつ五角数となるｎはいくつになるのだろうか？

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p^2-p=3q^2-q

右辺を3a^2倍すると

9a^2q^2-3a^2q+b^2=(3aq-b)^2

3a^2=6ab

a=2b,b=1,a=2

左辺をa^2倍すると

a^2p^2-a^2p+b^2=(ap-b)^2

a^2=2ab

a=2b,b=1,a=2

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36q^2-12q=12p^2-12p

(6q-1)^2-1=3(2r-1)^2-3

(6q-1)^2-3(2p-1)^2=-2

ペル方程式に帰着されるが

P^2-3Q^2=-2

右辺が+/-(1,4,9,・・・)でないため、うまい解法が使えない。

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