■三角数かつ四角数(その6)

(Q1)△=□?,すなわち,三角数n(n+1)/2が完全平方数m^2となるnの値を求めよ.

(A1)n^2+n=2m^2

  4n^2+4n+1=8m^2+1

  (2n+1)^2=2(2m)^2+1

ここで,2n+1=p,2m=qとおくと

  p^2−2q^2=1  (ペル方程式)

に帰着されます.

  (p,q)=(3,2),(17,12),(99,70),(577,408),(3363,2378),・・・

 →(n,m)=(1,1),(8,6),(49,35),(288,204),(1681,1189),・・・nは完全平方と完全平方

の2倍を交互に繰り返します.

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