■多角数の逆数和(その43)

  ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+・・・

  ζ(−2)=1^2+2^2+3^2+4^2+・・・=0

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

では,m角数ゼータ関数を

  ζm(s)=Σ[1/2・n・{(m−2)n^2−(m−4)n}]^-s/2

で定義しています.

===================================

[1]ζm(−2)を考えると

  ζ3(−2)=0,

  ζ4(−2)=0,

  ζ5(−2)=1/27,

  ζ6(−2)=1/16,

  ζ7(−2)=2/25,

  ζ8(−2)=5/54,

  ζ9(−2)=5/49,

  ζ10(−2)=7/64

[2]m→∞のときのζm(−2)を考えると

  ζ12(−2)=3/25,

  ζ17(−2)=91/675,

  ζ100(−2)=388/2401

  ζ∞(−2)=1/6が示されています.

===================================