■ペル方程式(その146)

[1]整数の平方根の連分数は周期的であるだけでなく、回文的である。

[2]最後の数はセミコロンの左にある最初の数の2倍であることは別にして、周期は中心対称である。

(その16)では

  √m=[q0;2q0,2q0,2q0,・・・]

を考えたため、n^2+1型の整数の平方根の連分数は周期1であったが、奇数の場合も考えると、n^2+4型となる。

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 単純循環連分数

  L=[a:b,b,b,b,・・・]

で表される数Lを求めてみることにしましょう.

  L−a=R=[0:b,b,b,b,・・・]=1/(b+R)

  R^2+bR−1=0 → R=(−b+(b^2+4)^(1/2))/2

  L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

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a=0,b=5の場合、

L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

=−5/2+(25/4+1)^(1/2)

=(-5+√29)/2

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a=0,b=6の場合、

L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

=−3+(9+1)^(1/2)

=(-3+√10)

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a=0,b=7の場合、

L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

=−7/2+(49/4+1)^(1/2)

=(-7+√53)/2

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