■ペル方程式(その102)

[定理]−1は4n+1型素数の平方剰余であり,4n+3型素数の平方非剰余である.

(−1/p)=+1・・・pが4n+1型素数のとき

     =−1・・・pが4n+3型素数のとき

===================================

[第1補充則]

(−1/p)=(−1)^(p-1)/2

===================================

  x^2=−1  (modp)

[1]p=5→x=2,3

[2]p=13→x=5,8

[3]p=17→x=4,13

[4]p=29→x=12,17

[5]p=37→x=6,31

[6]p=41→x=9,32

[7]p=53→x=23,30

[8]p=61→x=11,50

[9]p=73→x=27,46

[10]p=89→x=34,55

[11]p=97→x=22,75

===================================

[定理]4n+1型素数はどれも2つの平方数の和として表される.

===================================

 5=1^2+2^2

13=2^2+3^2

17=1^2+4^2

29=2^2+5^2

37=1^2+6^2

41=4^2+5^2

53=2^2+7^2

61=5^2+6^2

73=3^2+8^2

89=5^2+8^2

97=4^2+9^2

===================================