■ペル方程式(その98)

 フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac−bd)^2+(ad+bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad−bc)^2

は簡単に確認できます.

 また,この積は2通りの異なる方法で,2つの平方数の和として表すことができることを示しています(a=bまたはc=dのときは,積はたった1通りの方法で2つの平方数の和になります).

 たとえば,

  65=5・13

  5=1^2+2^2,13=2^2+3^2

  65=(1・2+2・3)^2+(1・3−2・2)^2=8^2+1^2

  65=(1・2−2・3)^2+(1・3+2・2)^2=4^2+7^2

となります.

  1105=5・13・17

は4n+1型素数のはじめの3素数の積です.このことから,1105は2つの平方数の和で4通りに表せることになるのです.

 1105=(a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)

 17^2=1^2+4^2

 1105=(8^2+1^2)(1^2+4^2)=4^2+33^2=12^2+31^2

 1105=(4^2+7^2)(1^2+4^2)=24^2+23^2=32^2+9^2

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