■ペル方程式(その63)

 x^2−dy^2=1  (ペル方程式)はdが平方数でないとき,無限に多くの整数解をもつ.

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[1]解(x1,y1)があったとして,そこから出発して次々と新しい解(xk,yk)を作ることができる.

 x^2−dy^2=1は

 (2x^2−1)^2−d(2xy)^2=1と同値である.

 2x^2−1>x,2xy>y

なので,x2=2x1^2−1,y2=2x1y1は新しい解である.

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[2]最小解を

  z1=x1+y1√d

とすると

  zk=z1^k=(x1+y1√d)^k

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[3]一般に,最小解がdの連分数展開から求めることができる.

 特殊例として,d=u(uv^2+2)のとき

  z1=(1+uv^2)+v√d

が最小解である.

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