■ペル方程式(その57)

 Q(√5)の基本単数を求めると,

  x^2−5y^2=±4,複号は−4で(1,1)が最小→ε=(1+√5)/2

m  ペル方程式の最小解        ε           ノルム

5  1^2−5・1^2=−4       (1+√5)/2     −1

 複号が4の場合は(3,1)が最小

===================================

 √5の最良近似では

  {(1+√5)/2}^n=an+bn√5

  {(1−√5)/2}^n=an−bn√5

  an+1+bn+1√5=(1+√5)/2(an+bn√5)

          =(an+5bn)/2+√5(an+bn)/2

より

  an+1=(an+5bn)/2

  bn+1=(an+bn)/2

  an+1=(an+5bn)/2=an/2+5(an-1+bn-1)/2

 =an/2+2an-1+(an-1+5bn-1)/2=an+2an-1

  bn+1=(an+bn)/2=(an-1+5bn-1)/2+bn/2

 =(an-1+bn-1)/2+bn/2+2bn-1=bn+2bn-1

より

  an+1=an+2an-1,bn+1=bn+2bn-1

===================================

 α,βを2次方程式x^2−x−2=0の根はα=2とβ=−1

初期値をa1=1,a2=3,b1=1,b2=1とすると

  an={α^n-1(a2−βa1)−β^n-1(a2−αa1)}/(α−β)

={α^n-1(4)−β^n-1(1)}/3

n=1:a1=1

n=2:a2=3

  bn={α^n-1(b2−βb1)−β^n-1(b2−αb1)}/(α−β)

={α^n-1(2)+β^n-1(1)}/3

n=1:b1=1

n=2:b2=1

となります.

===================================