■ペル方程式(その26)

f(x)=ax^2+bx+c, (a,b,c)=1,a>0

D=b^2-4ac

α=(-b+√D)/2a

α'=(-b-√D)/2a

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αが簡約2次無理数であるとは、α>1かつ-1<α'<0を満たすことをいう。

α=(1+√2)/2,α=(1-√2)/2は4x^2-4x-1=0で、簡約2次無理数となる。

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αが簡約2次無理数であるための必要十分条件は、f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0

すなわち、a-b+c>0,c<0,a+b+c<0

-b+√D>2a>b+√D>0

0<-b<√D・・・Dに対してbは有限個

このとき

4ac|(D-b^2)より、a,cも有限個

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D=40に対して

0<-b<√40=6.32

また、D=b^2 (mod4)→D=b  (mod2)であるから、可能なbは-2,-4,-6のみ

b=-2→D^2-b^2=36→ac=-9

b=-4→D^2-b^2=24→ac=-6

b=-6→D^2-b^2=4→ac=-1

-b+√D>2a>b+√D>0より

b=-2→D^2-b^2=36→ac=-9、8.32>2a>4.32→(a,c)=(3,-3)

b=-4→D^2-b^2=24→ac=-6、10.32>2a>2.32→(a,c)=(3,-2),(2-3)

b=-6→D^2-b^2=4→ac=-1、12.32>2a>0.32→(a,c)=(1,-1)

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D=40に対して、

α=(1+√10)/3, (2+√10)/3,(2+√10)/2,(3+√10)

が得られる。

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