■ペル方程式(その20)

√2=1+(√2-1)

1/(√2-1)=2+(√2-1)

より、√2の連分数展開

√2=[1:2,2,2,2,・・・]

が得られる。

===================================

 √2の最良近似分数列p/q

  1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,577/408,・・・

において,

  p^2−2q^2=±1  (ペル方程式)

の±1は交互に繰り返し現れます.

  1^2+1^2=1^2+1

  2^2+2^2=3^2−1

  5^2+5^2=7^2+1

  12^2+12^2=17^2−1

  ・・・・・・・・・・・・・

  (p,q)=(3,2),(17,12),(99,70),(577,408),(3363,2378),・・・

→(n,m)=(1,1),(8,6),(49,35),(288,204),(1681,1189),・・・nは完全平方と完全平方の2倍を交互に繰り返します.

===================================

ラグランジュの基本定理によりq≦41,p≦29なるすべての有理数q/pのなかで

  41/29=1.41379

が√2の最も良い近似であることが分かる。

===================================