■ペル方程式(その11)

  an+1=161an+360bn=161an+360(72an-1+161bn-1)

 =161an−an-1+161(161an-1+360bn-1)=161an+160an-1

  bn+1=72an+161bn=72(161an-1+360bn-1)+161bn

 =161(72an-1+161bn-1)+161bn−bn-1=161bn+160bn-1

より

  an+1=161an+160an-1,bn+1=161bn+160bn-1

  a1=9,b1=4

  a2=2889,b2=1292

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 α,βを2次方程式x^2−161x−160=0の根として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

 整数列{bn}でも同じ漸化式ですから,同じ一般項になります.

  bn={α^(n-1)(b2−βb1)−β^(n-1)(b2−αb1)}/(α−β)

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  α=(161+√26561)/2

  β=(161−√26561)/2

  a1=9,b1=4

  a2=2889,b2=1292

を代入すればよい.

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