5は多くの不思議な特徴をもつが、

日本では晴明桔梗など昔から伝わる家紋で一族を象徴する習慣があり、　西洋では城塞都市、砦、国防、魔除けの力の象徴でもあった。

5はフィボナッチ数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,・・・の第5項でもある。

第10項は55であるが、この数列は急速に増大し、第20項は6765、第30項は832040ともなる。

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三角数Tn=n(n+1)であり、かつ、四角数であるものを求めよという問題はしばしば取り上げられるものであるが、

五角数Tn=n(3n-1)/2であり、かつ、四角数であるものを求めよという問題も考えられるところである。

最初の５つは

P1=1

P81=99^2

P7921=9701^2

P776161=950599^2

P76055841=93149001^2

であるが、たまにしか現れず、最後の２桁は交互に 01^2か99^2となるようだ。

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（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

a^2n^2+a^2n+b^2=(an+b)^2

a^2=2ab,a=2b,b=1とおくとa=2

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（Ｑ２）五角数ｎ（３ｎー１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）３ｎ^2ーｎ＝２ｍ^2

うまくペル方程式に持ち込めない・・・

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9a^2n^2-3a^2n+b^2=(3an-b)^2

3a^2=6ab,a=2b,b=1とおくとa=2

　　３６ｎ^2-１２ｎ＋１＝２４ｍ^2＋１

　　（６ｎ-１）^2＝６（２ｍ）^2＋１

ここで，６ｎ-１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−６ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（５，２），・・・

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xn+√6yn=(x1+√6y1)^n

(x1^2-6y1^2)(xn^2-6yn^2)=(x1xn+6y1yn)^2-6(x1yn+y1xn)^2=1

xn+1=x1xn+6y1yn

x1=5,y1=2

x2=2x1^2-1=49,y2=y1(2x1)=20

x3=4x1^3-3x1=485,y3=y1(4x1^2-1)=198

x4=8x1^4-8x1^2+1=4801,y4=y1(8x1^3-4x1)=1960

x5=16x1^5-20x1^3+5x1=47525,y5=y1(16x1^4-12x1^2+1)=19402

x6=32x1^6-48x1^4+18x1^2-1=470449,y5=y1(32x^5-32x1^3+6x1)=192060

　　（ｐ，ｑ）＝（５，２），(49,20),(485,198),(4801,1960),(47525,19402),(470449,192060)・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（81，99）,(9721,9701)・・・

P1=1

P81=99^2

P7921=9701^2

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