■五角数(その13)

 有名な幾何学的パラドックス<64cm^2=65cm^2>は,8・8の正方形から5・13の長方形を作ると,いつのまにか面積が1だけ増えています.

 「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも,パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです.1794年,フーパーが初めて紹介したという記述もあります(フーパーのパラドックス).きっと,いろいろな本でみたことのある方も多いと思います.

 ファイボナッチ数の連続する3項には奇妙な関係があり,

  Fn・Fn+2=Fn+1^2−(−1)^n

すなわち,第1項と第3項をかけた数と第2項の2乗の差が常に±1になります.たとえば,5,8,13の場合は5・13=8^2+1になります.

 このトリックは一直線をなすように使われた2つの線分の傾き3/8,5/13の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので,もっと先の数,たとえば8/21とかを使えばより巧妙なトリックになります.公式

  Fn・Fn+2=Fn+1^2−(−1)^n

は,3つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の2つの数の積より1大きいか小さいかのどちらかで,このトリックパズルのもとになっています.

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正三角形を4つの部分に分解して、それを正方形に並べ替えよというパズルは1907年、デュドニーの作とされている。面積の等しい任意の多角形は分解合同になるボヤい・ゲルヴィンの定理の例である。

フーパーのパラドックスも正方形を4片に分解して、長方形に並べ替えたように見えるが、それらの面積を比較すると64=65になっているように見える。同じ4片の並べ替えでも一方は定理であり、一方はトリックなのである。

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フィボナッチ数

1,12,3,5,8,13,21,34,55,8,144,・・・

この数列は急速に成長し、20番目は6765、30番目は832040となる。

Fn〜φ^n/√5

12番目は144で平方数であるが、

24番目46368

36番目19930352は平方数ではない

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一方, 五角数

1,5,12,22,35,51,70,92,・・・

はTn=n(3n-1)/2であり、かつ、四角数であるものを求めよという問題も考えられるところである。

最初の5つは

P1=1

P81=99^2

P7921=9701^2

P776161=950599^2

P76055841=93149001^2

であるが、たまにしか現れず、最後の2桁は交互に 01^2か99^2となるようだ。

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