■レプユニット型素数(その26)

(a^n-1)/(a-1)はn個の1よりなっている。2を基底としたものを別とすれば10を基底としたものが最も広く研究されてきた。

(a^n-1)/(a-1)が素数であるためにはnが素数でなければならないがメルセンヌ数同様、それだけでは十分ではない。

===================================

(10^5-1)/9=41・271

(10^7-1)/9=239・4649

(10^p-1)/9が合成数となる例を作るにはordq(10)=pであるような素数qを見つければよい。

このとき(10^p-1)/9はqで割り切れる。

どの素数pがレプユニット型素数を与えるののかは、数論における未解決問題である。

たとえば,n=2(11)は素数である.n=13は53・79・265374653であるが,n=17は2071723と5363222357の2つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである.n=29の場合は,3191・16763・43037・62003・77843839397となる.

n=2,19,23,317,1031の場合,Rnは素数であることが知られている.素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はn=49081と86453であるが,いまのところ,これ以外のレプユニット型素数は知られておらず,レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である.

===================================

(10^23-1)/9が素数であることが発見されたのち、(10^317-1)/9が素数であることが証明されたのはほぼ50年後のことであった。

(10^71-1)/9を因数分解するためにはコンピュータとアルゴリズムの発展をまたなければならなかった。

===================================