■レプユニット型素数(その11)

 1が連続する数を1の反復数(レプユニット)という.

1=1

11=11(素数)

111=3・37

1111=11・101

11111=41・271

111111=3・7・11・13・37

1111111=239・4649

11111111=11・73・101・137

111111111=3・3・37・333667

1111111111=11・41・271・9091

11111111111=21649・513239

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【1】レプユニット型素数

 10進法表記で1がn個並ぶn桁のレプユニットは

  Rn=(10^n−1)/9

の形に書くことができる.1以外の数,たとえば7がn個並ぶ数は7で割れるから素数ではない.1の場合だけが明らかではないのだが,

n=2:11(素数)

n=3:3・37

n=6:3・7・11・13・37

n=9:3・3・37・333667

n=18:3・3・7・11・13・19・37・52579・333667

 それでは,

(Q)3桁以上のレプユニットはすべて素数ではないのだろうか?

(A)No.

 Rnが素数ならば,nは素数でなければならないのであるが,まず,nが偶数の場合をみてみよう.

[1]n=4m+2の場合

  R2=11(素数)

  R6=R2・R3・91

  R10=R2・R5・9091

  R14=R2・R7・909091

  R18=R2・R9・90909091

あるいは

  R2=11(素数)

  R6=R3・1001

  R10=R5・100001

  R14=R7・10000001

  R18=R9・1000000001

[2]n=4mの場合

  R4=11・101

  R8=11・101・1001

  R12=11・101・100010001

  R16=11101・1000100010001

[3]nが素数の場合

 たとえば,n=2(11)は素数である.n=13は53・79・265374653であるが,n=17は2071723と5363222357の2つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである.n=29の場合は,3191・16763・43037・62003・77843839397となる.

 特殊な形の素数としては

  カレン数:n・2^n+1型素数

  フェルマー素数:2^(2^n)+1型素数

  メルセンヌ素数:2^n−1型素数

などがあげられる.

 フェルマー数の因数はk・2^n+1の形をしていることから,オイラーは

  2^(2^5)+1=4294967297=641・6700417

と分解されることを見いだした.

 n=2,19,23,317,1031の場合,Rnは素数であることが知られている.素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はn=49081と86453であるが,いまのところ,これ以外のレプユニット型素数は知られておらず,レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である.

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  [参]加藤明史「読んで楽しむ代数学」現代数学社

にはレプユニットの別の見方も掲載されていたので,紹介しておきたい.

1・9+2=11

12・9+3=111

123・9+4=1111

1234・9+5=11111

12345・9+6=111111

123456・9+7=1111111

1234567・9+8=11111111

12345678・9+9=111111111

123456789・9+10=1111111111

[参]1から9までの数字を3×3マスにあてはめる3次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ1種類である.1から16までの数字を4×4マスにあてはめる4次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて880種類ある.1から25までの数字を5×5マスにあてはめる5次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて275305224種類あることがわかっている.急速に複雑さが増していくのである.

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