■ケプラーの球体充填問題(その21)

[1]Ln=n([2^(n-2)/3]+n+1)=n(n+「2^n/12」)

  n  1  2  3  4  5  6  7  8

  Ln  2  6  12  24  40  72  126  240

[2]Mn)≦2Fn-1(θ)/Fn(θ)

  n    4  5  6  7  8  9  10  11  12

  Mn    26  48  85  146  244  401  648   1035  1637

[3]Ln≦τn≦Mn

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 以下に,現在知られている上界・下界を記しますが,コクセターの方法は,現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかります.このようにτnの知られている上限と下限の間の差はまだ非常に大きいといえます.

  n  τn   n  τn

  1       2   13 1130〜2233

  2 6   14 1582〜3492

  3 12   15 2564〜5431

  4 24〜25   16 4320〜8313

  5 40〜46   17 5346〜12215

  6 72〜82   18 7398〜17877

  7 126〜140   19 10668〜25901

  8 240   20 17400〜37974

  9 306〜380   21 27720〜56852

  10 500〜595   22 49896〜86537

11 582〜915 23 93150〜128096

12 840〜1416 24 196560

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