【４】まとめ

　２次元平面の円配置において単位面積あたりもっとも多くの円を並べるには円の中心を三角格子の頂点にとります．その場合，各円は正六角形に内接（ひとつの円に６個の円が接する）します．３次元空間の球配置において単位体積あたりもっとも多くの球を並べるには，球の中心を正４面体と正八面体を交互に並べた頂点にとります．その場合，各球は菱形十二面体に内接（ひとつの球に１２個の球が接する）します．

　４次元空間の球配置において単位体積あたりもっとも多くの球を並べるには，球の中心を正１６胞体の頂点にとります．その場合，各球は正２４胞体（菱形十二面体の４次元版）に内接（ひとつの球に２４個の球が接する）します．

　５次元以上の空間の球配置において単位体積あたりもっとも多くの球を並べるには，球の中心は正多胞体ではない空間充填図形の頂点にとる必要があります．ここに高次元図形の落とし穴があるのですが，その場合，各球の接触数は５次元：４０，６次元：７２，７次元：１２６，８次元：２４０となることが知られています．

　そして，最終的には簡単なグラフ的算法に帰着されるのですが，１≦ｎ≦８では

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　下界　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240

となり，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．→（この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．ｎ＝９のとき４６８となるのですが，コクセターの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．）

　これより

　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2

　　2 6

　　3 12〜13

　　4 24〜26

　　5 40〜48

　　6 72〜85

　　7 126〜146

　　8 240〜244

となります．

　以下に，現在知られている上界・下界（オドリズコ，スローン）を記しますが，コクセターの方法は，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかります．このようにτnの知られている上限と下限の間の差はまだ非常に大きいといえます．

　　ｎ　 τn 　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2 　　13 1130〜2233

　　2 6 　　14 1582〜3492

　　3 12 　　15 2564〜5431

　　4 24〜25 　　16 4320〜8313

　　5 40〜46 　　17 5346〜12215

　　6 72〜82 　　18 7398〜17877

　　7 126〜140 　　19 10668〜25901

　　8 240 　　20 17400〜37974

　　9 306〜380 　　21 27720〜56852

　　10 500〜595 　　22 49896〜86537

11 582〜915 23 93150〜128096

12 840〜1416 24 196560

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