【３】kissing numberの下界

　ｎ次元球のkissing numberの上界は立体角による評価，すなわち，正四面体配置（相互に接するよう球を配置）の問題でしたが，それに対して，下界は極大格子状配置による評価，すなわち，

　　Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8

の問題となります．

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）です．それに対して，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密正則胞体充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

　正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなすことより，正２４胞体は３次元の菱形１２面体Ａ3に対応するものであって，（３，４，３，３）は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られているというわけです．

　なお，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されるのですが，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものです．

　そこで「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群（極大格子群）を求めよ」というミニマックス問題が設定されます．すなわち，正多角形，正多面体に限らない最密規則的充填構造は何かという問題です．

　２次元では，与えられた最小距離をもつすべての格子中で，格子点密度のもっとも高いものは，正三角形格子（Ａ2）ということになります．

　３次元では，すべての辺の長さが等しい平行六面体格子（菱形体格子）をつくってみると，辺が互いの６０°の角度をなすようにしたとき，平行六面体の体積は最小値となります．これが面心立方格子状配置であって，その対称性はＣ3（立方体）ではなく，Ａ3で与えられます．

　もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができるのですが，高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子はもはや最密球配置を与えてはくれません．４次元のＤ4格子は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による空間充填形に相当します．すなわち，４次元，５次元においては面心立方格子の類似品Ｄ4，Ｄ5となるのですが，面心立方格子状配置

　　ｎ＝３：（±１，±１，０）

　　ｎ＝４：（±１，±１，０，０）

　　ｎ＝５：（±１，±１，０，０，０）　　　（±１の個数は２つ）

では２ｎ（ｎ−１）個の球と接することができます．

　ｎ＝６，７，８では面心立方格子状配置の接触点以外にも隙間ができるのでそのようなことも成立しなくなり，隙間の分が加わって，それぞれ

　　６０＋１２＝７２

　　８４＋４２＝１２６

　　１１２＋１２８＝２４０

個の同じ大きさの球が詰め込み可能になります．（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8格子は例外型リー環に属し，それぞれ接触数７２，１２６，２４０を与える．）

　この隙間は，９個の整数に対して法３で合同となるので，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝６）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝７）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝８）

であって，

　　１２×３＝４２，４２×３＝１２８

という関係にあり，Ｅ8では９個の球によって完全に充填した構造となっています．

　　　　　　 　第１層　　　　第２層　　　　第３層

　　Ｅ6 格子 　　７２　　　　２７０　　　　７２０

　　Ｅ7 格子 １２６　　　　７５６　　　２０７２

　　Ｅ8 格子 ２４０　　　２１６０　　　６７２０

　これは次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからなのですが，８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）

と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．

　この詰め込みの断面（部分格子）が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みＥ6，Ｅ7を与えてくれるというわけです．

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