2000年の記事を再掲

【高次元のパラドックス】

　人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないのが普通です．次のような逆説をあげておきます．

　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体をｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√１^2＋１^2＋・・・＋１^2＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さはどんどん大きくなり，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　それに対して，ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．また，ｎ次元単位球の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．そして，不思議なことに，単位球の体積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

ｎ　　　 Ｖn

１　　　2

２　　　3.14

３　　　4.19

４　　　4.93

５　　　5.263

６　　　5.167

７　　　4.72

８　　　4.06

９　　　3.30

10　　　2.55

　また，このことから，ｎ次元超立方体[-1,1]n（体積2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．ここで重要なのは，単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなる点です．

　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものですが，このように，高次元はいくつかのパラドックスの源泉になっていて，しばしばたちの悪い現象が起こるのです．

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