2000年の記事を再掲

　高次元の球や立方体については見て考えることができないので，２次元・３次元から類推して考えることになります．ところが，高次元の場合，奇妙なことが起こるので類推があてになりません．高次元の世界は，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なっているのです．

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【ケプラーの球体充填問題】

　いきなり高次元の世界に踏み込んでも撃沈されるのがおちでしょうから，まず最初に，３次元の球の詰め込み問題について考えてみましょう．

　１６１１年，ケプラーは，物質を構成する粒子は体積を最小とするように自己を組織化するだろうという構成原理を考えました．そこで，粒子が球形だと仮定して，さまざまな配置の空間充填率を計算してみました．ケプラーが最初に試みたのは，それぞれの球が６個の球に囲まれるように第１層を構成し，第２層は第１層のくぼみに球を置くという積み方です．これは別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に球が配置されているところから，面心立方格子と呼ばれている配置ですが，この積み方は八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置です．この場合の充填率は√２π／６（７４．０４％）になります．

　他の配置と比較してみましょう．たとえば，下の層を正方形配列としその真上に球をのせていく単純立方格子の充填率はたったπ／６（５３％）にすぎません．また，六方格子（第１層は面心立方格子と同じ正三角形配列だが，第２層は球の真上に球をのせる）の充填率は√３π／９（６０％）であり，立方体の８個の頂点と中心に球を配置した体心立方格子の充填率は√３π／８（６８％）です．こうして，さまざまな配置を調べてみたケプラーは，面心立方格子が最密充填構造であるという結論に達しました．

　面心立方格子が最も密な球の充填方法だろうという予想は４００年近く前のケプラーまでさかのぼります．日常の経験からしても，同じ大きさの球の最も効果的な配置問題は自明なものと考えてしまいがちで，直感的に面心立方格子をなす場合が最大に詰め込んだ配置のように思えます．しかしだからといって，無限にある可能性をすべてひっくるめて証明したわけではないので，これは定理ではなく予想にすぎません．ランダムな配置まで含めると，空間充填率が７４．０４％よりも引き上げられるかもしれないからです．→【補】

　現在，ケプラーの問題については大半の数学者がまず間違いないだろうと考え，すべての物理学者が当たり前だと思っているのですが，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だという証明にはまだ至っておらず，いまやケプラー予想はフェルマーの最終定理に取って代わる数学上の未解決問題になっているのです．

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