■無限積(その42)

 Γ関数の定義

  1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

を知らなかったので調べてみたところ,ガンマ関数には,無限積表示

[1]オイラーの公式

  Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(−t)dt

      =1/xΠ(1+1/n)^x(1+x/n)^(-1)   n=1〜∞

のほかに

[2]ワイエルシュトラスの標準無限積表示

  1/Γ(x)=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(−x/n)   n=1〜∞

があった.

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  1/Γ(x)=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(−x/n)

=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(−x/n)

expΣ(−x/n)=expΣ(−x(1/1+1/2+・・・+1/n))

Hn =1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n

とlognの差{Hn −logn}は確定した極限値γに収束します.

 Hn −logn→γ   (n→∞:Hn =logn+γ+O(1/n))

      Hn =logn+γ+o(1)

ですから,n→∞のとき

 expΣ(−x/n)→exp(−x(γ+logn))

 exp(γx)expΣ(−x/n)→exp(−xlogn))=1/n^x

となって,

  1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

は正しいことがわかる.

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