■無限積(その40)

  A=Π(1−1/n^3)   n=2〜∞

  B=Π(1+1/n^3)   n=2〜∞

  AB=Π(1−1/n^6)   n=2〜∞

  A/B=Π((n^3−1)/(n^3+1)  n=2〜∞

とする.(その17)(その18)において,

  A=cosh(π√3/2)/3π

  B=cosh(π√3/2)/2π

であることを証明したが,もう少し考えてみたい.

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[1]B=Π(1+1/n^3)   n=2〜∞

 βをβ^3=-1の複素解

  β=(1+√3i)/2,β^2−β+1=0

とします.

  B=Π(n+1)(n−β)(n−β^2)/n^3

  B=Π(1+1/n)・(1−β/n)・(1−β^2/n)

 なお,ガンマ関数には無限積表示

  Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(−t)dt

      =1/xΠ(1+1/n)^x(1+x/n)^(-1)   n=1〜∞

が知られています.

  Γ(1)=Π(1+1/n)(1+1/n)^(-1)=1

  Γ(β)=1/βΠ(1+1/n)^β(1+β/n)^(-1)

  Γ(β^2)=1/β^2Π(1+1/n)^β^2(1+β^2/n)^(-1)

  Γ(1)Γ(β)Γ(β^2)=−Π(1+1/n)^(β+β^2)(1+β/n)^(-1)(1+β^2/n)^(-1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[2]A=Π(1−1/n^3)   n=2〜∞

 αをα^3=1の複素解

  α=(-1+√3i)/2,α^2−α+1=0

とします.

  A=Π(n−1)(n−α)(n−α^2)/n^3

  A=Π(1−1/n)・(1−α/n)・(1−α^2/n)

 なお,ガンマ関数には無限積表示

  Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(−t)dt

      =1/xΠ(1+1/n)^x(1+x/n)^(-1)   n=1〜∞

が知られています.

  Γ(1)=Π(1+1/n)(1+1/n)^(-1)=1

  Γ(α)=1/αΠ(1+1/n)^α(1+α/n)^(-1)

  Γ(α^2)=1/α^2Π(1+1/n)^α^2(1+α^2/n)^(-1)

  Γ(1)Γ(α)Γ(α^2)

=Π(1+1/n)^(α+α^2)(1+α/n)^(-1)(1+α^2/n)^(-1)

=Π(1+1/n)^(-1)(1+α/n)^(-1)(1+α^2/n)^(-1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 α=−β^2,α^2=−β

ですから,

  A=Π(1−1/n)・(1−α/n)・(1−α^2/n)

  A=Π(1−1/n)・(1+β/n)・(1+β^2/n)

  B=Π(1+1/n)・(1−β/n)・(1−β^2/n)

  B=Π(1+1/n)・(1+α/n)・(1+α^2/n)

  AB=Π(1−1/n^2)・(1−α/n^2)・(1−α^2/n)

    =sin(π)/π・sin(πα)/πα・sin(πα^2)/πα^2→この式は(その14)で証明に用いたものである.

  A/B=Π(1−1/n)/(1+1/n)・(1−α/n)/(1+α・(1−α^2/n)/(1+α^2/n)

=(1+1/n)/(1+1/n)・(1+1/n)^α/(1+α/n)(1+1/n)^α^2/(1+α^2/n)

  1/B=Π(1+1/n)^(-1)・(1−β/n)^(-1)・(1−β^2/n)^(-1)

=Π(1+1/n)^(β^2−β)・(1−β/n)^(-1)・(1−β^2/n)^(-1)

  Γ(−β)=−1/βΠ(1+1/n)^-β(1−β/n)^(-1)

  Γ(−β^2)=−1/β^2Π(1+1/n)^-β^2(1−β^2/n)^(-1)

  Γ(−β)Γ(−β^2)=1/β^3Π(1+1/n)^-β-β^2(1−β/n)^(-1)(1−β^2/n)^(-1)

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