■無限積(その31)

 以下の計算には間違いがあります.どこが間違っているか指摘できますか?

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[1]pを素数,qを2以上の非素数,rを2以上の自然数とする.このとき,全素数にわたる積

  P=Πp^4/(p^4−1)=ζ(4)=π^4/90

であるが,

  Q=Πq^4/(q^4−1)=?

  P・Q=Πn^4/(n^4−1)=Πn^2/(n^2−1)・n^2/(n^2+1)

=2^2/(2^2−1)・n^2/(n^2+1)→4/3

 P=π^4/90より,Q=120/π^4

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[2]pを素数,qを2以上の非素数,rを2以上の自然数とする.このとき,全素数にわたる積

  P=Πp^6/(p^6−1)=ζ(6)=π^6/945

であるが,

  Q=Πq^6/(q^6−1)=?

  P・Q=Πn^6/(n^6−1)=Πn^3/(n^3−1)・n^3/(n^3+1)

=2^3/(2^3−1)・n^3/(n^3+1)→8/7

 P=π^6/945より,Q=1080/π^6

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[A]P・Q=Πn^2/(n^2−1)=Πn/(n−1)・n/(n+1)

=2/1・2/3・3/2・3/4・・・n/(n−1)・n/(n+1)

=2/1・n/(n+1)→2

のように,うまくキャンセルアウトできないのである.

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