■無限積(その30)

[1]pを素数,qを2以上の非素数,rを2以上の自然数とする.このとき,全素数にわたる積

  P=(2・2/1・3)(3・3/2・4)(5・5/4・6)・・・(p・p/(p-1)・(p+1))・・・=π^2/6

であったが,

  Q=(4・4/3・5)(6・6/5・7)(8・8/7・9)・・・(q・q/(q-1)・(q+1))・・・=?

 まず,Q>1は自然に浮かぶところであるが,n≧2として

  P・Q=Πn^2/(n^2-1)=Πn/(n-1)・n/(n+1)

=2/1・2/3・3/2・3/4・・・n/(n-1)・n/(n+1)

はうまくキャンセルアウトして

  P・Q=2/1・n/(n+1)→2

 P=π^2/6より,Q=12/π^2

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