■無限積(その18)

[Q] n^1/nが最大となるnは?

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[A]x=e^1/eのとき、最大値1.44466786100・・・をとる。

x=e^1/eは1より大きく、√2より大きいが、√3より小さいことに注意。

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 関数f(x)=x^(x^x^x^x^x^・・・)は区間[exp(−e),exp(1/e)]で定義されることをオイラーが示した.

exp(−e)=0.06598803584・・・<1

exp(1/e)=1.44466786100>√2>1

 したがって,

 x^(x^x^x^x^x^・・・)=3はx^2=3と書き変えることができない.

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