■無限積(その13)

【1】無限積の無限級数展開

[1]オイラー積

  Π1/(1−1/pi^2)=Σ1/k^2=π^2/6

[2]オイラーの5角数定理

  Π(1−x^n)=Σ(−1)^k・x^k(3k-1)/2

 |x|<1のときは収束し,極限値として一致する.たとえば,x=1/2のとき,

  Π(1−1/2^n)=Σ(−1)^k・(1/2)^k(3k-1)/2

=1−1/2−(1/2)^2+(1/2)^5+(1/2)^7−(1/2)^12−(1/2)^15+(1/2)^22+(1/2)^26−・・・

=0,289(10進法)

=0.0100100111101110000001000011・・・(2進法)

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