■サイクロイドの三等分(その7)

[1]回転円の半径が1のサイクロイド

  x=θ−sinθ

  y=1−cosθ

の弧とx軸で囲まれる図形の面積は,

  dx=(1−cosθ)dθ

  dy=sinθdθ

  xdy−ydx=(θ−sinθ)sinθdθ−(1−cosθ)^2dθ

=(−2+2θsinθ+2cosθ)dθ

 S=−1/2・∫(0,2π)(xdy−ydx)=3π

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図の円を除いた部分を求積してみよう。

  x=π−sinθ

  y=1−cosθ

したがって、

∫(0,2)(π-θ)dyとなる。

dy/dθ=sinθ

∫(0,2)(π-θ)dy=∫(0,π)(π-θ)sinθdθ

∫(0,π)(π)sinθdθ=[-πcosθ]=2π

∫(0,π)(θ)sinθdθ=[sinθ-πcosθ]=π

∫(0,2)(π-θ)dy=π

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