【４】フェルマーの問題

『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』

　フェルマーの問題は，ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2ですから，解は無限にあることがわかります．ｎ＝４の場合は，フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました．

　指数が３以上のフェルマー方程式については，ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年），ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年），ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ，それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが，初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました．

　個々のｎに対して攻略する時代はこれで終わり，あとは一般的なｎに対する攻略の道筋にまったく新しい方向性と理論を見いだす必要があったのです。最大のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました。クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのです。正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂk の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります。

　非正則素数は無限に多く存在するにもかかわらず，１９８０年代にはフェルマー予想はほとんど正しいことは証明されていたのですが，一つもないかどうかまではわかりませんでした．まことしやかに見えるだけで真実だと断定するわけにはまいりません．「almost every n」からalmostを取り除くのが次代の数学者の課題になったのです．代数幾何学を数論に応用するというアイディアを導入してこの行き詰まりを解決することになるのですが，・・・・・．

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　フェルマーの問題（１６３７年）を解くことは，ピタゴラス方程式を一般化した任意の２変数多項式：ｘ^n＋ｙ^n＝１に有理数解があるかどうかに置き換えて考えることができますが，見かけのシンプルさとは裏腹に，人類の頭を悩まし続け，多くの高名な数学者がフェルマー予想に挑戦したにもかかわらずことごとくそれを退けてきました．

　２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線（有理曲線）と呼びます．与えられた曲線が有理曲線かどうかを判定するには曲線の種数を求めればよく，それが０なら有理曲線になります．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．２次曲線はすべて有理曲線ですが，楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．すなわち，円錐曲線の有理点は無限ですが，楕円曲線の有理点は有限です．

　ジーゲルの有限性定理（１９２９年） 「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない．」により，すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式，たとえば，ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｚ^2の可解性条件はわかったことになります．

　また，モーデル・ファルティングスの定理（１９８３）とは，「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない．」というものです．２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．また，リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．

　ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきましょう．

　楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのですが，約４００年ものあいだ未解決の数学的難問にこのようにして証明を与えたのは，イギリス人で米国プリンストン大学の数学者ワイルズです（１９９４年）．

　かくして「フェルマー予想」は「フェルマー・ワイルズの定理」となったのです．→コラム「フェルマー・ワイルズの定理と狭すぎた余白」参照

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