■4平方和定理と290定理(その16)

  a^2+2b^2+3c^2+4d^2

はすべての正の整数を表現することができる.

  1=(1,0,0,0)  9=(3,0,0,0)

  2=(0,1,0,0)  10=(1,1,1,1)

  3=(0,0,1,0)  11=(0,2,1,1)

  4=(0,0,0,1)  12=(0,0,2,0)

  5=(1,0,0,1)  13=(1,0,2,0)

  6=(2,1,0,0)  14=(0,1,2,0)

  7=(2,0,1,0)  15=(1,1,2,0)

  8=(0,2,0,0)  16=(・・・・・・・)

 この先は恐ろしくあきあきする作業になるに違いないが,15定理はこの先を試す必要がないことを保証してくれる.

 ラマヌジャンのリストは

  Aa^2+Bb^2+Cc^2+Dd^2

(1,1,1,1)から(1,2,5,10)の範囲で54通り存在することを示している.

 (1,2,5,5)は間違いであって,

  a^2+2b^2+5c^2+5d^2

は15を除いたすべての正の整数を値にとることができる.15は

  a^2+2b^2+5c^2+5d^2

と書けない唯一の数なのである.

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