ｙ^3＝ｘ^2＋１１

の正整数による解は（ｘ，ｙ）＝（５８，１５）であるが、（４，３）が現れなかった．再考してみたい．

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　ｙ^3＝ｘ^2＋１１＝（ｘ＋√１１ｉ）（ｘ−√１１ｉ）において，もし右辺が通常の整数と同様に振る舞うと考えて，公約素数をもたないと仮定してみる．すなわち，ｇｃｄ｛（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ｝＝１

　そうすれば，それらの積がｙ^3であるから，（ｘ＋√１１ｉ）は立方数である．

（ｘ＋√１１ｉ）＝（ａ＋√１１ｂｉ）^3

　ｇｃｄ｛（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ）｝＝１

となるだろうか？

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　｜ａ＋２ｂｉ｜^2＝ａ^2＋１１ｂ^2＝１ならばａ＝±１，ｂ＝０に限られるから，ａ＋√１１ｂｉｉ＝±１

よって，ｙ^3＝ｘ^2＋１１のときに（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ）の公約数のノルムが１になることを示せば十分である．

　ｙ^3＝０，１，３　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＝０，１　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＋１１＝３，０　（ｍｏｄ４）

したがって，ｙ^3＝ｘ^2＋１１が成り立つためには

　ｘ^2＝０，１　（ｍｏｄ４）

すなわち，ｘは奇数に限らない．→（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ）のノルムｘ^2＋１１は奇数に限らない．

（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ）の約数はそれらの和２√１１ｉの約数でもあり，２√１１ｉのノルムは４４である．一方，（ｘ＋√１１ｉ），（ｘ−√１１ｉ）のノルムｘ^2＋１１は奇数に限らないから，４４とｘ^2＋４の最大公約数は１とはならない．

したがって，（ｘ＋√１１ｉ）＝（ａ＋√１１ｂｉ）^3になるとは限らないのである．これがｘ^2＝４^2は何処かへ消え失せた原因である．

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