【２】ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式

（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めよ．

（Ａ）２^k［（３／２）^k］−１＜３^kであるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2　　（ｋ＝２）

　　２３＝２・２^3＋７・１^3　　（ｋ＝３）

のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．

　そのときの２^kの個数は［（３／２）^k］−１，２^kの個数はｎ−２^k｛［（３／２）^k］−１｝＝２^k−１であるから

　　ｇ＝［（３／２）^k］−１＋２^k−１＝［（３／２）^k］＋２^k−２

　　ｇ（ｋ）≧［（３／２）^k］＋２^k−２

の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．

　一般に，Ａk＝［（３／２）^k］，Ｂk＝（３／２）^k−［（３／２）^k］，Ｃk＝［（４／３）^k］とおけば，すべての正の整数ｋについて

［１］Ａk＋２^kＢk≦２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２

［２］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＝２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−２

［３］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＞２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−３

が成り立ちます．ただし，［２］，［３］の条件を満たすｋはまだひとつも見つかっておらず，ｋ≦４７１６×１０^5のときはすべて［１］の条件を満たすとのことです．

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