■完全ベキ乗数とカタラン予想(その18)

[Q]0<(e^π−π^e)<1を示せ.

 x^y−y^x=0は2≦x<e<y≦4について調べればよい.また,x^y−y^x=1の整数解は(x,y)=(3,2)だけであることがわかっている.

 阪本ひろむ氏が,x^y-y^xに関するグラフなどを描いてくれたので掲載する.

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 とりあえず,x^y-y^xに関するグラフなどを描いてみたので,ご覧ください.x^y-y^x=0をyについて解くこと(適切な特殊関数があった)ことは意外であった.整数解云々を考えるうえでは,等高線表示をご覧いただきたい.  (阪本ひろむ)

[1]x^y−y^x=0をyについて解く

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[2]x^y−y^xのグラフ表示(3次元グラフ)

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[3]x^y−y^xのグラフ表示(等高線表示)

[a]x^y−y^x=0

[b]x^y−y^x=1

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