■完全ベキ乗数と逆数和(その3)

 x^y  (x≧2,y≧2)の形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする.

  {an}={1,4,8,9,16,25,27,32,36,・・・}

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  Σ1/(an+1)=π^2/3−5/2  (n≧2)

すなわち,

  1=1/5+1/9+1/10+1/17+1/26+1/28+1/33+1/37+・・・

が成り立つことも証明された.この証明は

Σ1/(m^2−1)=7/4-π^2/6

に基づいてなされる

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mをベキとするとき

  Σ1/(m^2−1)=7/4-π^2/6

すなわち、1/15+1/63+1/80+1/255+1/624+・・・=7/4-π^2/6

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【1】オイラーの証明

π^2/6=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+・・・

1/3=1/4+1/16++1/64+・・・

1/8=1/9+1/81+1/729+・・・

1/24=1/15+1/625+・・・

1/35=1/36+1/1296+・・・

などを使うと

π^2/6=1+1/3+1/8+1/24+1/35+1/48+1/99+・・・

ところで、n>=2とすると

Σ1/(n^2−1)=Σ{1/2(n-1)-1/2(n+1)}=1/2+1/4=3/4

1+Σ1/(n^2−1)=7/4

=1+1/3+1/8+1/15+1/24+1/35+1/48+1/63+1/80+・・・

これから

π^2/6=1+1/3+1/8+1/24+1/35+1/48+1/99+・・・

をひくと

1/15+1/63+1/80+1/255+1/624+・・・=7/4-π^2/6

となる。

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