■完全ベキ乗数と逆数和(その2)

 x^yの形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする.

  {an}={1,4,8,9,16,25,27,32,36,・・・}

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【1】ゴールドバッハの公式

  Σ1/(an−1)=1  (n≧2)

すなわち、1/3+1/7+1/8+1/15+1/26+1/31+1/35+・・・=1

 なお,近年には

  Σ1/(an+1)=π^2/3−5/2  (n≧2)

が成り立つことも証明されたという.

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【2】オイラーの証明

 x=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+・・・

から

1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+・・・

をひくと

x-1=1+1/3+1/5+1/6+1/7+1/9+1/10+・・・(分母が2のベキのものはなくなる)

1/2=1/3+1/9+1/27+1/81+1/243+・・・

をひくと

x-1-1/2=1+1/5+1/6+1/7+1/10+1/11+・・・(分母が3のベキのものはなくなる)

1/4=1/5+1/25+1/125+1/625+・・・

をひくと

x-1-1/2-1/4=1+1/6+1/7+1/10+1/11+・・・(分母が5のベキのものはなくなる)

1/5=1/6+1/36+・・・

1/6=1/7+1/49+・・・

1/9=1/10+1/100+・・・

1/10=1/11+1/121+・・・

をひくことを繰り返すと

x-1-1/2-1/4-1/5-1/6-1/9-・・・=1

x-1=1+1/2+1/4+1/5+1/6+1/9+・・・(分母nはn+1がベキになっていないもの)

 x=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+・・・

から

x-1=1+1/2+1/4+1/5+1/6+1/9+・・・(分母nはn+1がベキになっていないもの)

をひくと

1=1/3+1/7+1/8+1/15+1/26+1/31+1/35+・・・(分母nはn+1がベキになっているもの)

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