■ヴィーフェリッヒ素数(その14)

2^(p-1)=1  (mod p^2)を満たす素数。

フェルマーの最終定理:x^p+y^p=z^pが整数解をもてば、pは上の合同式を満たすことをヴィーフェリッヒは1909年に示した。

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[補]フェルマーの小定理より,pを素数とすると,pは常に2^(p-1)−1を割り切る.

  2^(p-1)−1=0  (mod p)

[Q]p^2が2^(p-1)−1を割り切るような素数pはあるだろうか?

  2^(p-1)−1=0  (mod p^2)

[A]ヴィーフェリッヒ素数はp=1093,3511が知られています.

  2^1092−1は1093^2で割り切れる.

  2^3510−1は3511^2で割り切れる.

 一方,

  2^(p-1)−1≠0  (mod p^2)

すなわち,ヴィーフェリッヒ素数でない素数は無限個あることが示されている(実際にはヴィーフェリッヒ素数はいまのところ1093と3511しか知られていない).

[Q]p^3が2^(p-1)−1を割り切るような素数pはあるだろうか?

  2^(p-1)−1=0  (mod p^3)

 そのような性質を満たすpをひとつ見つけるだけでよいので,易しい問題に思えるかもしれない.しかし,この問題はなお未解決である.

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