■パラメータ解(その35)

 アルキメデスは

  265/153<√3<1351/780

も導いていますが,どうやって導いたのでしょうか?

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 ペル方程式x^2−3y^2=1を解く.

  1=(x+√3y)(x−√3y)

  1^2=(x+√3y)^2(x−√3y)^2

    ={x^2+3y^2}^2−3{2xy}^2

 したがって(x0,y0)が解ならば

  (x0^2+3y0^2,2x0y0)

も解となる.

  (2,1)は解なので(7,4)も解.

  (7,4)は解なので(97,56)も解.

これを続けると

  265/153<√3<1351/780

が得られる.

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  (2+√3)^2=7+4√3

  (2+√3)^3=26+15√3

  (2+√3)^4=97+56√3

  (2+√3)^5=362+209√3

  (2+√3)^6=1351+780√3

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